刚体力学笔记

转动惯量

一个刚体的转动惯量定义为

$$I=\sum_im_i{r_i}^2$$

$m_i$指刚体上第$i$个质点的质量，$r_i$指刚体上第$i$个质点到转轴的距离。转动惯量在研究刚体转动中的地位与刚体质量在研究刚体平动时的地位相当。

下面讨论几种常见物体的转动惯量。

• 圆环（转轴在圆心处，垂直圆面）

  由于圆环上所有点到圆环的距离均为$R$，则根据转动惯量的定义，有

  $$I=mR^2$$

• 圆盘（转轴在圆心处，垂直圆面）

  采用微元思想，可将圆盘分为一个个圆环求。应用上面结论，可知

  $$I=\int_0^R\mathrm dm\cdot r^2$$

  其中，$\mathrm dm$为分出的圆环质量。$r$为圆环半径。圆环宽度极细，为$\mathrm dr$，此时圆环面积趋近于圆环长与圆环宽度的乘积，即$\mathrm dS=2\pi r\mathrm dr$。则

  $$\mathrm dm=\sigma\cdot\mathrm dS=\sigma\cdot2\pi r\mathrm dr$$

  $\sigma$为圆盘面密度，有$\sigma=\cfrac{m}{\pi R^2}$。带入上式，可得

  $$\begin{aligned} I&=\int_0^R\mathrm dm\cdot r^2\\ &=\int_0^R\sigma\cdot2\pi r\mathrm dr\cdot r^2\\ &=2\pi\sigma\int_0^Rr^3\mathrm dr\\ &=2\pi\cdot\frac{m}{\pi R^2}\cdot\frac{1}{4}R^4\\ &=\frac{1}{2}mR^2 \end{aligned}$$

• 球壳（转轴通过球心）

  仍然采用微元思想，将球壳由上到下分为一个个圆环。若每个圆环的纬度设为$\theta$，又上下两个半球转动惯量相同，应用上面结论，有

  $$I=2\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm dm\cdot(R\cos\theta)^2$$

  此时$\mathrm dS=2\pi R\cos\theta\cdot R\mathrm d\theta$，$\mathrm dm=\sigma\cdot\mathrm dS=\sigma\cdot2\pi R\cos\theta\cdot R\mathrm d\theta$，$\sigma=\cfrac{m}{4\pi R^2}$。均代入上式，有

  $$\begin{aligned} I&=2\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm dm\cdot(R\cos\theta)^2\\ &=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sigma\cdot2\pi R\cos\theta\cdot R\mathrm d\theta\cdot R^2\cos^2\theta\\ &=4\pi\sigma R^4\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3\theta\mathrm d\theta\\ &=4\pi\cdot\cfrac{m}{4\pi R^2}\cdot R^4\int_0^\frac{\pi}{2}(1-\sin^2\theta)\mathrm d\sin\theta\\ &=mR^2\left(\sin\theta\bigg|_0^\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\sin^3\theta\bigg|_0^\frac{\pi}{2}\right)\\ &=mR^2\left(1-\frac{1}{3}\right)\\ &=\frac{2}{3}mR^2 \end{aligned}$$

• 球体（转轴通过球心）

  将球体分为一层一层球壳来求。应用上面结论，可知

  $$I=\int_0^R\frac{2}{3}\mathrm dm\cdot r^2$$

  此时$\mathrm dm=\rho\mathrm dV$，$\rho$为球体密度，即$\rho=\cfrac{m}{\frac{4}{3}\pi R^3}$。而球壳厚度极薄，为$\mathrm dr$，则球壳体积趋近于球壳表面积与球壳厚度的乘积，即$\mathrm dV=4\pi r^2\mathrm dr$。因此，$\mathrm dm=\rho\cdot4\pi r^2\mathrm dr$。代入上式，得

  $$\begin{aligned} I&=\int_0^R\frac{2}{3}\mathrm dm\cdot r^2\\ &=\int_0^R\frac{2}{3}\rho\cdot4\pi r^2\mathrm dr\cdot r^2\\ &=\frac{8}{3}\pi\rho\int_0^Rr^4\mathrm dr\\ &=\frac{8}{3}\pi\cdot\cfrac{m}{\frac{4}{3}\pi R^3}\cdot\frac{1}{5}R^5\\ &=\frac{2}{5}mR^5 \end{aligned}$$

刚体的定轴转动

1. 动能

   刚体绕轴以角速度$\omega$旋转。将刚体转动的动能拆分成其上每一个质点的动能之和

   $$E_k=\sum_i\frac{1}{2}m_i(\omega r_i)^2=\frac{1}{2}\left(\sum_im_i{r_i}^2\right)\omega^2$$

   由转动惯量的定义，可知

   $$E_k=\frac{1}{2}\left(\sum_im_i{r_i}^2\right)\omega^2=\frac{1}{2}I\omega^2$$

2. 角动量

   刚体绕轴以角速度$\boldsymbol\omega$旋转。与上面采用同样的方法，将刚体转动的角动量拆分成其上每一个质点的角动量之和

   $$\boldsymbol L=\sum_i\boldsymbol L_i=\sum_i\boldsymbol r_i\times m_i(\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_i)$$

   当所有的$\boldsymbol L_i$都与$\boldsymbol\omega$方向相同时，有

   $$\boldsymbol L=\sum_im_i{r_i}^2\boldsymbol\omega=\left(\sum_im_i{r_i}^2\right)\boldsymbol\omega$$

   由转动惯量的定义，可知

   $$\boldsymbol L=I\boldsymbol\omega$$

3. 力矩与角加速度

   当角速度方向与角动量方向相同时，由上可知

   $$\boldsymbol L=I\boldsymbol\omega$$

   等式两边分别对$t$求导，即得

   $$\boldsymbol M=I\boldsymbol\beta$$

   这就是力矩与角加速度的关系。该式在研究刚体转动中的地位与牛顿第二定律在研究刚体平动中的地位相当。