三角形中描述边关系的定理及其证明

注：本篇中所指的“边”是一切和三角形有关的边，包括但不限于中线、角平分线、梅氏线等。

Menelaus定理

根据我的做题经验，这个定理极为有用，适用面很广。因此，将其置于此篇文章的首位，是不无道理的。

• Menelaus定理：如图，在$\triangle ABC$​中，一直线与$\triangle ABC$​的边$AB,AC,BC$​（或其延长线）分别交于点$D,E,F$​​。则有：

  $$\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$$

  其中，$\triangle ABC$​被称为梅氏三角形，直线$DEF$​是$\triangle ABC$​​的梅氏线。

• 记忆口诀：顶点（梅氏三角形的顶点）到交点（梅氏线与梅氏三角形的交点），交点回顶点。

• 定理证明

  

  如图，过点$C$​作$CP/\mskip-4mu/DE$​交$AB$于点$P$。
  则根据平行线分线段成比例定理，有

  $$\frac{BF}{FC}=\frac{BD}{DP}\\\frac{CE}{EA}=\frac{PD}{DA}$$

  所以

  $$\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BD}{DP}\cdot\frac{PD}{DA}=1$$

  证毕。

Ceva定理

Ceva定理的应用不如Menelaus定理那么广泛，但仍是极为实用的定理。尤其是Ceva定理与Menelaus定理有着密切的关联，