古希腊の悖论
“阿喀琉斯与龟”的悖论相信大家都有所耳闻。芝诺（Zeno）通过这一论述，得出“阿喀琉斯永远追不上乌龟”的结论，显然是荒谬的。假设阿喀琉斯的速度为$v_1$，乌龟的速度为$v_2$，$v_1>v_2$，出发时两者之
间的距离为$L$，显然阿喀琉斯将在$t=\dfrac{L}{v_1-v_2}$时追上乌龟。由于结论错误，则论证必错。那么问题到底出在哪呢？
问题探索
问题就在于，一切具有重复性的过程都可以作为“钟”，用其重复次数来度量时间，而芝诺在论证中使用了两种不同的时间度量方式。一种是我们日常用的时间，不妨记为$t$。而芝诺采用的另一种神奇的“钟”使用的重复性过程是：阿喀琉斯逐次到达乌龟前一次的出发点。我们不妨称其为“芝诺时”，记为$t’$。为揭开此悖论的秘密，我们要求出$t$与$t’$的变换关系。
在$t’=1$时，阿喀琉斯到达乌龟的第一个出发点，此时$t=\dfrac{L}{v_1}$。在这段时间里，乌龟又走了$v_2t=\dfrac{L}{v_1}\cdot v_2$的路程。因此，在$t’=2$时，阿喀琉斯到达乌龟的第二个出发点，$t=\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1}$。我们不妨列一张表，帮助我们寻找规律。
| 芝诺时（$t’$） | 普通时（$t$） |
|---|---|
| $0$ | $0$ |
| $1$ | $\dfrac{L}{v_1}$ |
| $2$ | $\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1}$ |
| $3$ | $\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^2$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ |
| $n$ | $\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1}+\dfrac{L}{v_1}\cdot\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^2+\cdots+\dfrac{L}{v_1}\cdot\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^{n-1}$ |
问题解决
从表中得到$t’=n$时，对应的
运用等比数列求和的方法，得到
所以$t$和$t’$的变换关系为
此式被称为芝诺变换。
根据芝诺变换，容易看出，由于$v_1>v_2$，则$\dfrac{v_2}{v_1}<1$，从而当$t’\to\infty$时，$\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^{t’}=0$。所以，当$t’\to\infty$时有
即阿喀琉斯追上乌龟的时间。由此发现，在普通时$t$下阿喀琉斯追上乌龟时，芝诺时$t’$已经到达了无穷大，所以芝诺才会得出“阿喀琉斯永远追不上乌龟”的结论。
探究总结
可以看到，芝诺的计时方法“芝诺时”有其局限性，在其达到无穷大时普通时只不过经历了一段有限的时间。可以想象，当下已知的宇宙万物的种种规律也有其局限性。而正是这种局限性，激励着人类一代又一代永不停息地接力探索！我们青年一代，也要为不断突破科学的局限而努力奋斗！