余数定理
对于$n$次多项式$f(x)=\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0$，如果我们用一次多项式$x-c$作除式去除多项式$f(x)$，那么所得余式必为一个常数。不妨设这时商式为$g(x)$，余式（余数）为$r$，则：
即被除式等于除式乘以商式再加余式。
令$x=c$，便得到：
因此，我们有
$\qquad$$x-c$除$f(x)$时，所得的余数为$f(c)$。
这个结论被称为余数定理。
试根法分解因式
在上面的推导中，若余数是$0$，那么$f(x)$被$x-c$整除，也就是$x-c$是$f(x)$的因式。反过来，若$x-c$是$f(x)$的因式，那么$f(x)$被$x-c$整除，余数是$0$。因此，我们有
$\qquad$如果$f(c)=0$，那么$x-c$是$f(x)$的因式。反过来，如果$x-c$是$f(x)$的因式，那么$f(c)=0$。
因此，想要分解$f(x)$，只需找出一个$c$，使得$f(c)=0$，那么$f(x)$必可分解出因式$x-c$。
如果$f(c)=0$，那么就说$c$是多项式$f(x)$的根。因此，在$c$是$f(x)$的根时，$x-c$是$f(x)$的因式。
有理根的求法
我们假定$f(x)=\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0$是整系数多项式，也就是说$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in\mathbb{Z}$。又设有理数$c=\frac{p}{q}$是$f(x)$的根，$(p,q)=1$。
由于$f(c)=0$，即
两边同乘$q^n$得
该式右边被$p$整除，所以它的左边也被$p$整除。显然，左边的前$n$项都被$p$整除，所以最后一项$a_0q^n$也被$p$整除，但$(p,q)=1$，所以$p|a_0$，即$p$是$a_0$的因数。同样地，$q$应当整除$a_np^n$，从而$q$是$a_n$的因数。于是，可得
$\qquad$有理根$c=\frac{p}{q}$的分子$p$是常数项$a_0$的因数，分母$q$是首项系数$a_n$的因数。
据此，我们就可以有的放矢地将有理数代入$f(x)$进行试根。当找出一个有理根$c$后，便可根据第二部分的结论分解出因式$x-c$。
不过需要注意的是，这个结论仅适用于整系数多项式。对于非整系数多项式，需要先将其化为整系数多项式，再进行试根。
应用：二次式的分解
对于$x$的二次式$ax^2+bx+c$在复数集内的分解，可以先利用求根公式求出它的根：
从而，可分解为：
在实数集内，当$b^2-4ac\ge0$时，$ax^2+bx+c$也可以这样分解。如果$b^2-4ac<0$，那么$ax^2+bx+c$是实数集内的既约多项式。
应用：韦达定理的推广
韦达定理阐释了一元二次方程的根与系数关系。那么，一元$n$次方程是否有类似结论呢？
$\qquad$在复数集内，每一个$x$的（不是常数的）多项式至少有一个根。即对于多项式$f(x)=\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0(n\in\mathbb{N^*})$，一定有复数$c$使得$f(c)=0$。
这个结论称为代数基本定理。
由代数基本定理，若找到$n$次多项式$f(x)$的一根$c$，将其除以因式$x-c$，所得多项式必然还有根。因此可继续上述步骤，直至多项式变为常数为止。在过程中共找到的$n$个根，都为原多项式$f(x)$的根。因此，可进一步推出：$n$次多项式$f(x)$在复数集内恰好有$n$个根。如果$x_1,x_2,\cdots,x_n$是$f(x)=\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0$的$n$个根，那么
这就是$f(x)$在复数集内的分解式。
回到原先的问题。同样地，设一元$n$次方程$f(x)=0$的根为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，那么，有
比较等号两边的常数项。左边的常数项很容易看出是$a_0$。右边的常数项应该是每个因式中的常数项的乘积，即$a_n\prod\limits_{k=1}^n(-x_k)$，可化简为$(-1)^na_n\prod\limits_{k=1}^nx_k$。等号两边的常数项必然相等，因此，显然有
变形，即得韦达定理一般形式中的第一个结论：
下面求$\sum\limits_{k=1}^nx_k$。根据我们推上一个结论的经验，只需在等号两边找出一项，且使得这一项在等号右边的系数包含$\sum\limits_{k=1}^nx_k$这一因子即可。这一项在等号右边，必然是将所有从$n$个括号中挑选出$n-1$个$x$，再挑选出一个常数项$-x_k$相乘得到的项求和得来。因此，我们考虑$x$的$n-1$次项。于是有
变形即得
于是，我们就推出了一元$n$次方程$\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0=0$的韦达定理：
这是韦达定理的一般形式。