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试根法浅析

余数定理

对于$n$次多项式$f(x)=\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0$,如果我们用一次多项式$x-c$作除式去除多项式$f(x)$,那么所得余式必为一个常数。不妨设这时商式为$g(x)$,余式(余数)为$r$,则:

即被除式等于除式乘以商式再加余式。

令$x=c$,便得到:

因此,我们有

$\qquad$$x-c$除$f(x)$时,所得的余数为$f(c)$。

这个结论被称为余数定理

试根法分解因式

在上面的推导中,若余数是$0$,那么$f(x)$被$x-c$整除,也就是$x-c$是$f(x)$的因式。反过来,若$x-c$是$f(x)$的因式,那么$f(x)$被$x-c$整除,余数是$0$。因此,我们有

$\qquad$如果$f(c)=0$,那么$x-c$是$f(x)$的因式。反过来,如果$x-c$是$f(x)$的因式,那么$f(c)=0$。

因此,想要分解$f(x)$,只需找出一个$c$,使得$f(c)=0$,那么$f(x)$必可分解出因式$x-c$。

如果$f(c)=0$,那么就说$c$是多项式$f(x)$的根。因此,在$c$是$f(x)$的根时,$x-c$是$f(x)$的因式。

有理根的求法

我们假定$f(x)=\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0$是整系数多项式,也就是说$a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in\mathbb{Z}$。又设有理数$c=\frac{p}{q}$是$f(x)$的根,$(p,q)=1$。

由于$f(c)=0$,即

两边同乘$q^n$得

该式右边被$p$整除,所以它的左边也被$p$整除。显然,左边的前$n$项都被$p$整除,所以最后一项$a_0q^n$也被$p$整除,但$(p,q)=1$,所以$p|a_0$,即$p$是$a_0$的因数。同样地,$q$应当整除$a_np^n$,从而$q$是$a_n$的因数。于是,可得

$\qquad$有理根$c=\frac{p}{q}$的分子$p$是常数项$a_0$的因数,分母$q$是首项系数$a_n$的因数。

据此,我们就可以有的放矢地将有理数代入$f(x)$进行试根。当找出一个有理根$c$后,便可根据第二部分的结论分解出因式$x-c$。

不过需要注意的是,这个结论仅适用于整系数多项式。对于非整系数多项式,需要先将其化为整系数多项式,再进行试根。

应用:二次式的分解

对于$x$的二次式$ax^2+bx+c$在复数集内的分解,可以先利用求根公式求出它的根:

从而,可分解为:

在实数集内,当$b^2-4ac\ge0$时,$ax^2+bx+c$也可以这样分解。如果$b^2-4ac<0$,那么$ax^2+bx+c$是实数集内的既约多项式。

应用:韦达定理的推广

韦达定理阐释了一元二次方程的根与系数关系。那么,一元$n$次方程是否有类似结论呢?

$\qquad$在复数集内,每一个$x$的(不是常数的)多项式至少有一个根。即对于多项式$f(x)=\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0(n\in\mathbb{N^*})$,一定有复数$c$使得$f(c)=0$。

这个结论称为代数基本定理

由代数基本定理,若找到$n$次多项式$f(x)$的一根$c$,将其除以因式$x-c$,所得多项式必然还有根。因此可继续上述步骤,直至多项式变为常数为止。在过程中共找到的$n$个根,都为原多项式$f(x)$的根。因此,可进一步推出:$n$次多项式$f(x)$在复数集内恰好有$n$个根。如果$x_1,x_2,\cdots,x_n$是$f(x)=\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0$的$n$个根,那么

这就是$f(x)$在复数集内的分解式。

回到原先的问题。同样地,设一元$n$次方程$f(x)=0$的根为$x_1,x_2,\cdots,x_n$,那么,有

比较等号两边的常数项。左边的常数项很容易看出是$a_0$。右边的常数项应该是每个因式中的常数项的乘积,即$a_n\prod\limits_{k=1}^n(-x_k)$,可化简为$(-1)^na_n\prod\limits_{k=1}^nx_k$。等号两边的常数项必然相等,因此,显然有

变形,即得韦达定理一般形式中的第一个结论:

下面求$\sum\limits_{k=1}^nx_k$​。根据我们推上一个结论的经验,只需在等号两边找出一项,且使得这一项在等号右边的系数包含$\sum\limits_{k=1}^nx_k$​这一因子即可。这一项在等号右边,必然是将所有从$n$​个括号中挑选出$n-1$​个$x$​,再挑选出一个常数项$-x_k$​相乘得到的项求和得来。因此,我们考虑$x$​的$n-1$​次项。于是有

变形即得

于是,我们就推出了一元$n$次方程$\sum\limits_{k=1}^na_kx^k+a_0=0$的韦达定理:

这是韦达定理的一般形式。